|
 DGS Matematik Konu Başlıkları
DGS Matematik
Asal Sayılar
Asal Sayılar
ASAL
SAYILAR
Asal sayilar, 1 ve kendisinden baska pozitif tam böleni
olmayan 1' den büyük tamsayilardir. En küçük asal sayi,
2' dir. 2 asal sayisi disinda çift asal sayi yoktur.
Yani, 2 sayisi disindaki tüm asal sayilar tek sayidir.
Asal sayilar kümesi,
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... }dir.
Fermat Teoremi' ne göre, n asal sayi olmak üzere, 2n - 1
seklinde yazilabilen sayilar asal sayidir. Örnegin,
22 - 1, 23 - 1, 25 - 1, 27 - 1, 211 - 1, ...sayilari,
asal sayidir.
Aralarinda asal sayilar:
1' den baska pozitif ortak böleni olmayan sayilara,
aralarinda asal sayilar adi verilir. Birden fazla
sayinin aralarinda asal olmasi için, bu sayilarin asal
sayi olmasi gerekmez. Asal sayilar, kesinlikle
aralarinda asal sayilardir. Bununla birlikte, 10 ve 81
sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, aralarinda
asal sayilardir. Diger taraftan, 10 ile 8 sayisi birer
asal sayi olmamasina ragmen, 2 ortak bölenleri oldugu
için, aralarinda asal sayilar degildir. Bir sayi
aralarinda asal iki sayiya bölünebiliyorsa, bu iki
sayinin çarpimina da bölünür.
Örnegin,
· 2, 9
· 10, 81
· 5, 29
· 3, 8
· 2, 10, 35
sayi gruplari, ortak tam bölenleri olmadigi için
aralarinda asal sayilardir.
Asal olmayan sayilara da bilesik sayi adi verilir.
Dolayisiyla, bilesik sayilarin 1 ve kendisinden baska
bölenleri vardir. Örnegin, 10 sayisi bir bilesik sayidir.
Çünkü, 10 sayisinin 1 ve kendisinden baska, 2 ile 5
böleni vardir. Buradan, asal olmayan 10 sayisi, birer
asal sayi olan 2 sayisi ile 5 sayisinin çarpimi olarak
yazilabilir. 2 ile 5 sayisina, 10 sayisinin asal çarpani
veya böleni denir. Yani, bilesik bir sayi, asal
sayilarin çarpimi seklinde yazilabilir.
Örnek 1:
Asagidaki sayi gruplarindan hangisi aralarinda
asaldir?
a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25
Çözüm:
a) 4 ile 20' nin ortak böleni vardir ve bu da 2 ile 4'
tür.
b) 6 ile 21' in ortak böleni vardir ve bu da 3' tür.
c) 27, 36 ve 39' un ortak böleni vardir ve ortak bölen
3' tür.
d) 8, 24 ve 36' nin ortak böleni vardir ve ortak bölen 2
ve 4' tür.
e) 3, 5 ve 25' in ortak böleni yoktur. Çünkü, bu üç
sayiyi birden bölen 1' den baska sayi yoktur.
Dolayisiyla, bu sayilar aralarinda asaldir.
Örnek 2:
2m + 3 ile 7n - 5 sayilari aralarinda asal olduguna
göre,
ise, m ve n kaçtir?Çözüm:
2m + 3 ile 7n - 5 aralarinda asal olduklarina göre,
2m + 3 = 5 2m = 5 - 3 2m = 2 m = 17n - 5 = 9 7n = 9 + 5
7n = 14 n = 2bulunur.
Örnek 3:
a, b ve c birbirinden farkli rakamlar olmak üzere, ab
ile bc iki basamakli aralarinda asal sayilardir. Buna
göre, ab + bc toplaminin en küçük degeri kaçtir?
Çözüm:
Toplamin en küçük olmasi için, sayilari en küçük
almaliyiz. Buna göre, ab = 21 olurken. bc = 13 olmalidir.
Dolayisiyla,
ab + bc = 21 + 13 = 34
olur.
Örnek 4:
2x + y ile 4 x + y sayilari aralarinda asal olduguna
göre,
ise, 3x + 2y toplami kaçtir
Çözüm:
2x + y ile 4x + y sayilari aralarinda asal olduguna
göre, her ikisinin de ortak böleni olmamasi
gerektiginden, esitligin sag tarafi ortak bölenden
arindirilmalidir. Dolayisiyla,
olur ve buradan,
2x + y = 7 ... (1)
4x + y = 9 ... (2)
yazilir. Bu denklemleri ortak olarak çözelim. Bunun
için, (1) nolu denklemi - 1 ile çarpalim ve (1) nolu
denklemle (2) nolu denklemi taraf tarafa toplayalim.
- 1 / 2x + y = 7
4x + y = 9
- 2x - y = - 7
4x + y = 9
Son iki denklemin toplami
2x = 2
x = 1
bulunur ve x = 1 degerini (1) nolu denklemde yerine
koyalim
2.1 + y = 7
y = 7 - 2
y = 5
bulunur. Buradan
3x + 2y = 3.1 + 2.5 = 3 +10 = 13
olur.
SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI
Her bilesik sayi, asal sayilarin veya asal sayilarin
kuvvetlerinin çarpimi seklinde yazilabilir. Bu islemi
yapmak için, ilgili sayinin sirasiyla en küçük asal
sayidan baslanarak bölünebilmesi arastirilir.
Örnek 1:
124 sayisini asal çarpanlarina ayiralim.
Çözüm:
124= 31.2.2
Örnek 2:
500 sayisini asal çarpanlarina ayiralim.
Çözüm:
500=2.2.5.5.5 |
 |
