DGS Matematik, Bölme ve Bölünebilme Kuralları

| İletişim

Tarayıcınız satır içi çerçeveleri desteklemiyor veya şu anda satır içi çerçeveleri göstermek için yapılandırılmamış.

DGS Matematik Konu Başlıkları DGS Matematik Bölme ve Bölünebilme Kuralları

Bölme ve Bölünebilme Kuralları

BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

bölme işleminde,

A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
A = B . C + K dır.
Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.
K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

l... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k Î Z olmak üzere,

(a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + ... = 7k

olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃+ 3a₄+ 2a₅) + ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a₀ + a₂ + a₄+ ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... = 11 . k

ve k Î Z olmalıdır.

® (n + 1) basamaklı anan–1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayı-sının 11 ile bölümünden kalan

(a₀ + a₂ + a₄ + ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.

3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K₁, K₂uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K₁ve

B nin C ile bölümünden kalan K₂ olsun.

Buna göre,

A . B nin C ile bölümünden kalan K₁ . K₂ dir.
A ± B nin C ile bölümünden kalan K₁ ± K₂ dir.
D . A nın C ile bölümünden kalan D . K₁ dir.
A^E nin C ile bölümünden kalan K₁^E dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = a^m . bⁿ . c^k olsun.

A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.
A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :

A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı

A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.
A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: