|
 DGS Matematik Konu Başlıkları
DGS Matematik
Bölünebilme Kuralları
Bölünebilme
Kuralları
BÖLÜNEBİLME KURALLARI
2 ile Bölünebilme:
Bir sayının 2 ile tam olarak bölünebilmesi için, birler
basamağının0, 2, 4, 6, 8sayılarından biri olması
gerekir. Yani, her çift sayı 2 ile tam olarak bölünür.
Bununla birlikte, tüm tek sayılar 2 ile bölündüğünde,
kalan 1 olur.
3 ile Bölünebilme:Bir sayının 3 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 veya
3 ün katları olması gerekir. Bir sayının 3 e bölümünden
kalan, rakamları toplamının 3 e bölümünden kalana
eşittir.
4 ile Bölünebilme:Bir sayının 4 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının00 veya 4
ün katları
olması gerekir. Bir sayının 4 ile bölümündeki kalan,
sayının son iki basamağının 4 e bölümündeki kalana
eşittir. Diğer taraftan, 4 ile tam olarak bölünebilen
yıllar, artık yıl olarak isimlendirilir. Yani, artık
yılların Şubat ayı 29 gün çeker. Dolayısıyla, 4 ile
Bölünebilme, artık yılların bulunması kullanılabilir.
5 ile Bölünebilme:Bir sayının 5 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının birler basamağının0 veya
5olması gerekir. Bir sayının 5 ile bölümündeki kalan,
sayının birler basamağının 5 e bölümündeki kalana
eşittir.
6 ile Bölünebilme:Bir sayının 6 ile tam olarak
bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 2 ile
tam olarak bölünmesi gerekir. Yani, 6 ile bölünebilen
bir sayının hem çift sayı olması hem de rakamları
toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir.
7 ile Bölünebilme:Bir sayının 7 ile tam olarak
bölündüğünü tespit etmek için, sayının rakamlarının
altına birler basamağından başlayarak (sağdan sola
doğru)
a b c d e f
2 3 1 2 3 1
- +
sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap
yapılmalıdır:
( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m ( k,
m: tamsayı)
Sonuç, 7 veya 7 nin katları ( m = 0 ) olursa, bu sayı 7
ile tam olarak bölünür. Şayet, m sıfırdan farklı bir
tamsayı olursa, bu sayının 7 ile bölümünden kalan m
olur. İşaretler de sağdan başlayarak sırasıyla her üçlü
için
+, -, +, -, +, -, +, ...
şeklinde olmalıdır. Bu kurala, (132) kuralı adı
verilmektedir.
8 ile Bölünebilme:Bir sayının 8 ile bölünebilmesi
için, sayının son üç basamağının 000 veya 8 in katı
olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölümündeki kalan,
sayının son üç basamağındaki sayının 8 e bölümündeki
kalana eşittir.
9 ile Bölünebilme:Bir sayının 9 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 9
veya 9 un katları olması gerekir. Bir sayının 9 a
bölümündeki kalan, sayının rakamlarının toplamının 9 a
bölümündeki kalana eşittir.
10 ile Bölünebilme:Bir sayının 10 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının birler basamağının sıfır
olması gerekir. Bir sayının 10 a bölünmesiyle elde
edilen kalan, sayının birler basamağındaki rakama
eşittir.
11 ile Bölünebilme:Bir sayının 11 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler
basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -, ...
işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve
eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın
da
0, 11 veya 11 in katları
olması gerekir. Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan,
artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e bölümündeki
kalana eşittir.
12 ile Bölünebilme:Bir sayının 12 ile
bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile
tam olarak bölünmesi gerekir.
15 ile Bölünebilme:Bir sayının 15 ile
bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile
tam olarak bölünmesi gerekir.
18 ile Bölünebilme:Bir sayının 18 ile
bölünebilmesi için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile
tam olarak bölünmesi gerekir.
24 ile Bölünebilme:Bir sayının 24 ile
bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile
tam olarak bölünmesi gerekir.
25 ile Bölünebilme:Bir sayının 25 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının 00, 25,
50, 75
olması gerekir.
Herhangi bir sayı ile Bölünebilme:a ve b aralarında asal
sayı ve x = a . b olsun. Şayet, bir sayı hem a ya hem
de b ye bölünüyorsa, bu sayı x e de tam olarak bölünür.
ÖRNEKLER
Örnek 1:Rakamları farklı 5 basamaklı 9452X
sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X değerlerinin
toplamı kaç olmalıdır?
Çözüm: 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için,
X in alabileceği değerler 0, 2, 4, 6, 8
olmalıdır. Oysa, bu sayının rakamlarının farklı olması
istendiğinden, X rakamı 2 ile 4 olamaz. Dolayısıyla, X
in alabileceği değerler 0, 6, 8 dir. Bu değerlerin
toplamı 0 + 6 + 8 = 14 olur.
Örnek 2:5 basamaklı 1582A sayısının 3 ile
bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için,
sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması
gerektiğinden,
1 + 5 + 8 + 2 + A = 3 . k olmalıdır. Buradan, 16 + A = 3
. k olur. Böylece, A 2, 5, 8 değerlerini alması gerekir.
Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı 2 + 5 + 8 = 15 olarak
bulunur.
Örnek 3:İki basamaklı mn sayısı 3 ile tam olarak
bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile
bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebildiğine
göre,m + n = 3 . k olması gerekir. O halde, 32mn
sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur: 3 + 2 + m +
n = 5 + ( m + n )
= 5 + 3 . k
= 3 + 2 + 3 . k
= 2 + 3 . k Kalan = 2 dir.
Örnek 4: Dört basamaklı 152X sayısının 4 e
bölümünden kalan 2 olduğuna göre, X in alabileceği
değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:152X sayısının 4 e tam olarak bölünebilmesi
için, sayının son iki basamağının yani 2X in, 4 ün
katları olması gerekir. O halde, X,
0, 4, 8 ... (1)
değerlerini alırsa, 152X sayısı 4 e tam olarak bölünür.
Kalanın 2 olması için, (1) nolu değerlere 2 ilave
edilmelidir. Bu taktirde, X,
2, 6
değerlerini almalıdır. Dolayısıyla, bu değerlerin
toplamı2 + 6 = 8olur.
Örnek 5:666 + 5373toplamının 4 e bölümünden kalan
kaçtır?
Çözüm: 666 nın 4 e bölümünden kalan şöyle
bulunur: 66 nın 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 2
dir.
5373 ün 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 73 ün 4 e
bölümünden kalana eşit olup, kalan 1 dir.
Bu kalanlar toplanarak, toplamın kalanı 2 + 1 = 3
bulunur.
Örnek 6: 99999 . 23586 . 793423 . 458 çarpımının
5 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 5 e bölümünden kalanı bulmak
için, birler basamağına bakılması gerekir ve birler
basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir.
Dolayısıyla,
99999 sayısının 5 e bölümünden kalan 2 dir.
23586 sayısının 5 e bölümünden kalan 1 dir.
793423 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.
458 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.
Bu kalanların çarpımı, 2 . 1 . 3 . 3 = 18 olur. 18 in 5
e bölümünden kalan ise, 3 tür.
Örnek 7:Rakamları birbirinden farklı dört
basamaklı 3m4n sayısı, 6 ile tam olarak bölündüğüne
göre, m + n in en büyük değeri kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi
için, sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak
bölünmesi gerekir. 3m4n sayısının 2 ye tam olarak
bölünebilmesi için, n nin 0, 2, 4, 6, 8 olması gerekir.
m + n nin en büyük olması için, n = 8 olmalıdır.
Böylece, 3m4n sayısı, 3m48 olur. 3m48 sayısının, aynı
zamanda, 3 e bölünmesi gerektiğinden, 3 + m + 4 + 8 = m
+ 3 olur ve böylece m, şu değerleri alabilir: 0, 3, 6, 9
m + n nin en büyük olması için, m = 9 alınmalıdır.
Dolayısıyla, m = 9 ve n = 8 için, m + n nin en büyük
değeri,
m + n = 9 + 8 = 17 olur.
- 2m + 15 = 7.k Buradan m = 4 olur.
Örnek 9:458028 sayısının 8 e bölümünden kalan
kaçtır?
Çözüm:Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak
için, sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden
kalanına
bakılmalıdır. Dolayısıyla, 28 sayısının 8 ile
bölümündeki kalanı bulmalıyız. 28 in 8 ile bölümünden
kalan 4 tür.
O halde, 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan, 4 tür.
Örnek 10: 10 basamaklı 4444444444 sayısının 9 ile
bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Sayının rakamlarının toplamını alıp, 9 un katlarını
atmalıyız.
Rakamların toplamı: 4 . 10 = 40 dır. Buradan, 4 + 0 = 4
bulunur.
O halde, 4444444444 sayısının 9 a bölümündün kalan 4
tür.
Örnek 11: Dört basamaklı 268m sayısının 10 ile
bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m kaç olmalıdır?
Çözüm: Bir sayının 10 a bölümünden kalanı bulmak için,
birler basamağına bakılmalıdır. Sayınnı birler
basamağındaki rakam kaç ise, kalan odur.
Bu nedenle, 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3
olduğuna göre, m = 3 olmalıdır.
Örnek 12: Dokuz basamaklı 901288563 sayısının 11
ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
9 0 1 2 8 8 5 6 3
+ - + - + - + - +
Kalan = ( 9 + 1 + 8 + 5 + 3 ) - ( 0 + 2 + 8 + 6
)= 26 – 16 = 10 olarak bulunur.
Örnek 13: Beş basamaklı 5m23n sayısının 30 ile
tam olarak bölünebilmesi için, m ve n nin hangi
değerleri alması gerekir?
Çözüm: Bir sayının 30 ile tam olarak
bölünebilmesi için, hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak
bölünmelidir.
Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için,
sayının birler basamağının 0 olması gerekir.
Dolayısıyla, n = 0 olmalıdır. Böylece, verilen sayı
5m230 olur.Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi,
sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması
gerekir. Dolayısıyla, 5 + m + 2 + 3 + 0 = 3.k m + 10 =
3.k m = 2, 5, 8 olur. O halde, m = 2, 5, 8 ve n = 0
olmalıdır. |
 |
