|
2 ile Bölünebilme:
Bir sayının 2 ile tam olarak
bölünebilmesi için, birler basamağının
0, 2, 4, 6, 8
sayılarından biri olması
gerekir. Yani, her çift sayı 2 ile tam olarak bölünür.
Bununla birlikte, tüm tek
sayılar 2 ile bölündüğünde, kalan 1 olur.
3 ile Bölünebilme:
Bir sayının 3 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları
olması gerekir. Bir sayının 3 e bölümünden kalan, rakamları
toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir.
4 ile Bölünebilme:
Bir sayının 4 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının
00 veya 4 ün katları
olması gerekir. Bir sayının 4
ile bölümündeki kalan, sayının son iki basamağının 4 e bölümündeki
kalana eşittir. Diğer taraftan, 4 ile tam olarak bölünebilen yıllar,
artık yıl olarak isimlendirilir. Yani, artık yılların Şubat ayı 29
gün çeker. Dolayısıyla, 4 ile Bölünebilme, artık yılların bulunması
kullanılabilir.
5 ile Bölünebilme:
Bir sayının 5 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının birler basamağının
0 veya 5
olması gerekir. Bir sayının 5
ile bölümündeki kalan, sayının birler basamağının 5 e bölümündeki
kalana eşittir.
6 ile Bölünebilme:
Bir sayının 6 ile tam olarak
bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 2 ile tam olarak
bölünmesi gerekir. Yani, 6 ile bölünebilen bir sayının hem çift sayı
olması hem de rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması
gerekir.
7 ile Bölünebilme:
Bir sayının 7 ile tam olarak
bölündüğünü tespit etmek için, sayının rakamlarının altına birler
basamağından başlayarak (sağdan sola doğru)
a b c d e f
2 3 1 2 3 1
- +
sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...)
yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır:
( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b
+ 2.a ) = 7.k + m ( k, m: tamsayı)
Sonuç, 7 veya 7 nin katları ( m
= 0 ) olursa, bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Şayet, m sıfırdan
farklı bir tamsayı olursa, bu sayının 7 ile bölümünden kalan m olur.
İşaretler de sağdan başlayarak sırasıyla her üçlü için
+, -, +, -, +, -, +, ...
şeklinde olmalıdır. Bu kurala,
(132) kuralı adı verilmektedir.
8 ile Bölünebilme:
Bir sayının 8 ile bölünebilmesi
için, sayının son üç basamağının
000 veya 8 in katı
olması gerekir. Bir sayının 8
ile bölümündeki kalan, sayının son üç basamağındaki sayının 8 e
bölümündeki kalana eşittir.
9 ile Bölünebilme:
Bir sayının 9 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 9 veya 9 un
katları olması gerekir. Bir sayının 9 a bölümündeki kalan, sayının
rakamlarının toplamının 9 a bölümündeki kalana eşittir.
10 ile Bölünebilme:
Bir sayının 10 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının birler basamağının sıfır olması gerekir.
Bir sayının 10 a bölünmesiyle elde edilen kalan, sayının birler
basamağındaki rakama eşittir.
11 ile Bölünebilme:
Bir sayının 11 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından
başlayarak sırasıyla
+, -, +, -, ...
işaretleri yazılır, artılı
gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır,
genel toplamın da
0, 11 veya 11 in katları
olması gerekir. Bir sayının 11
ile bölümündeki kalan, artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e
bölümündeki kalana eşittir.
12 ile Bölünebilme:
Bir sayının 12 ile bölünebilmesi
için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi
gerekir.
15 ile Bölünebilme:
Bir sayının 15 ile bölünebilmesi
için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi
gerekir.
18 ile Bölünebilme:
Bir sayının 18 ile bölünebilmesi
için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi
gerekir.
24 ile Bölünebilme:
Bir sayının 24 ile bölünebilmesi
için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi
gerekir.
25 ile Bölünebilme:
Bir sayının 25 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının
00, 25, 50, 75
olması gerekir.
Herhangi bir sayı ile
Bölünebilme:
a ve b aralarında asal sayı ve
x = a . b
olsun. Şayet, bir sayı hem a ya
hem de b ye bölünüyorsa, bu sayı x e de tam olarak bölünür.
Örnek 1:
Rakamları farklı 5 basamaklı
9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X değerlerinin toplamı kaç
olmalıdır?
Çözüm:
9452X sayısının 2 ile
bölünebilmesi için, X in alabileceği değerler
0, 2, 4, 6, 8
olmalıdır. Oysa, bu sayının
rakamlarının farklı olması istendiğinden, X rakamı 2 ile 4 olamaz.
Dolayısıyla, X in alabileceği değerler
0, 6, 8
dir. Bu değerlerin toplamı
0 + 6 + 8 = 14
olur.
Örnek 2:
5 basamaklı 1582A sayısının 3
ile bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının 3 ile bölünebilmesi
için, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması
gerektiğinden,
1 + 5 + 8 + 2 + A = 3 . k
olmalıdır. Buradan,
16 + A = 3 . k
olur. Böylece, A
2, 5, 8
değerlerini alması gerekir.
Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı
2 + 5 + 8 = 15
olarak bulunur.
Örnek 3:
İki basamaklı mn sayısı 3 ile
tam olarak bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile
bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
mn sayısı 3 ile tam olarak
bölünebildiğine göre,
m + n = 3 . k
olması gerekir. O halde, 32mn
sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur:
3 + 2 + m + n = 5 + ( m + n )
= 5 + 3 . k
= 3 + 2 + 3 . k
= 2 + 3 . k
Dolayısıyla, Kalan = 2 dir.
Örnek 4:
Dört basamaklı 152X sayısının 4
e bölümünden kalan 2 olduğuna göre, X in alabileceği değerler
toplamı kaçtır?
Çözüm:
152X sayısının 4 e tam olarak
bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının yani 2X in, 4 ün
katları olması gerekir. O halde, X,
0, 4, 8
... (1)
değerlerini alırsa, 152X sayısı
4 e tam olarak bölünür. Kalanın 2 olması için, (1) nolu değerlere 2
ilave edilmelidir. Bu taktirde, X,
2, 6
değerlerini almalıdır.
Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı
2 + 6 = 8
olur.
Örnek 5:
666 + 5373
toplamının 4 e bölümünden kalan
kaçtır?
Çözüm:
666 nın 4 e bölümünden kalan
şöyle bulunur:
66 nın 4 e bölümünden kalana
eşit olup, kalan 2 dir.
5373 ün 4 e bölümünden kalan
şöyle bulunur:
73 ün 4 e bölümünden kalana eşit
olup, kalan 1 dir.
Bu kalanlar toplanarak, toplamın
kalanı
2 + 1 = 3
bulunur.
Örnek 6:
99999 . 23586 . 793423 . 458
çarpımının 5 e bölümünden kalan
kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının 5 e bölümünden
kalanı bulmak için, birler basamağına bakılması gerekir ve birler
basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir. Dolayısıyla,
99999 sayısının 5 e bölümünden
kalan 4'tür.
23586 sayısının 5 e bölümünden
kalan 1'dir.
793423 sayısının 5 e bölümünden
kalan 3'tür.
458 sayısının 5 e bölümünden
kalan 3'tür.
Bu kalanların çarpımı,
4 . 1 . 3 . 3 = 36
olur. 36'nın 5'e bölümünden
kalan ise, 1'dir.
Örnek 7:
Rakamları birbirinden farklı
dört basamaklı 3m4n sayısı, 6 ile tam olarak bölündüğüne göre, m + n
in en büyük değeri kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının 6 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak
bölünmesi gerekir.
3m4n sayısının 2 ye tam olarak
bölünebilmesi için, n nin
0, 2, 4, 6, 8
olması gerekir. m + n nin en
büyük olması için, n = 8 olmalıdır. Böylece, 3m4n sayısı,
3m48
olur. 3m48 sayısının, aynı
zamanda, 3 e bölünmesi gerektiğinden,
3 + m + 4 + 8 = m + 3
olur ve böylece m, şu değerleri
alabilir:
0, 3, 6, 9
m + n nin en büyük olması için,
m = 9 alınmalıdır. Dolayısıyla, m = 9 ve n = 8 için, m + n nin en
büyük değeri,
m + n = 9 + 8 = 17
olur.
Örnek 8:
Beş basamaklı m362m sayısı, 7
ile tam bölündüğüne göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
Çözüm:
(132) kuralını kullanmalıyız.
m 3 6 2 m = ( m.1 + 2.3 + 6.2 )
- ( 3.1 + m.3 ) = m + 6 + 12 - 3 - 3m = - 2m + 15
3 1 2 3 1
- +
- 2m + 15 = 7.k
Buradan m = 4 olur.
Örnek 9:
458028 sayısının 8 e bölümünden
kalan kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının 8 ile bölümünden
kalanı bulmak için, sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden
kalanına bakılmalıdır. Dolayısıyla, 28 sayısının 8 ile bölümündeki
kalanı bulmalıyız.
28 in 8 ile bölümünden kalan 4
tür.
O halde, 458028 sayısının 8 e
bölümünden kalan, 4 tür.
Örnek 10:
10 basamaklı 4444444444
sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Sayının rakamlarının toplamını
alıp, 9 un katlarını atmalıyız.
Rakamların toplamı: 4 . 10 = 40
dır. Buradan, 4 + 0 = 4 bulunur.
O halde, 4444444444 sayısının 9
a bölümündün kalan 4 tür.
Örnek 11:
Dört basamaklı 268m sayısının 10
ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m kaç olmalıdır?
Çözüm:
Bir sayının 10 a bölümünden
kalanı bulmak için, birler basamağına bakılmalıdır. Sayınnı birler
basamağındaki rakam kaç ise, kalan odur.
Bu nedenle, 268m sayısının 10
ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m = 3 olmalıdır.
Örnek 12:
Dokuz basamaklı 901288563
sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
9 0 1 2 8 8 5 6 3
+ - + - + - + - +
Kalan = ( 9 + 1 + 8 + 5 + 3 ) -
( 0 + 2 + 8 + 6 )
= 26 - 16
= 10
olarak bulunur.
Örnek 13:
Beş basamaklı 5m23n sayısının 30
ile tam olarak bölünebilmesi için, m ve n nin hangi değerleri alması
gerekir?
Çözüm:
Bir sayının 30 ile tam olarak
bölünebilmesi için, hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmelidir.
Bir sayının 10 ile tam olarak
bölünebilmesi için, sayının birler basamağının 0 olması gerekir.
Dolayısıyla, n = 0 olmalıdır. Böylece, verilen sayı
5m230
olur.
Bir sayının 3 ile tam olarak
bölünebilmesi, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması
gerekir. Dolayısıyla,
5 + m + 2 + 3 + 0 = 3.k
m + 10 = 3.k
m = 2, 5, 8
olur. O halde, m = 2, 5, 8 ve n
= 0 olmalıdır. |
