|
 DGS Matematik Konu Başlıkları
DGS Matematik
Ortak Katların En Küçüğü OKEK
Ortak
Katların En Küçüğü OKEK
İki veya daha
çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen
iki veya daha çok sayının OKEK' ini bulmak için, sayılar
asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak
asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak
olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır.
1. Aralarında asal sayıların OKEK' i, bu
sayıların çarpımlarına eşittir. Yani, a ile b sayısı
aralarında asal sayılar ise,
(a, b)OKEK = a . b dir.
2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu iki
doğal sayının OBEB' i ile OKEK' inin çarpımı, bu iki
doğal sayının çarpımına eşittir. Yani, a ve b doğal
sayısı için
a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB dir.
3. a, b, c, d sayma sayıları olmak üzere,
(a/c,b/d)OKEK = (a, b)OKEK / (c, d)OBEB dir.
4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere,
(a, b)OKEK = x ve (a, b)OBEB = y
ise, a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri
x + y dir.
5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK' i bu iki
sayının çarpımına eşittir. Yani, a ile b ardışık iki
sayma sayısı olmak üzere,
(a, b)OKEK = a . b dir.
6. a ile b sayma sayıları olmak üzere, a < b ise,
(a, b)OBEB <= a <= b <= (a, b)OKEK dir.
Örnek 1:
18 ile 45 sayılarının OKEK' ini bulunuz.
Çözüm:
1. Yol:
18 = 2 . 32
45 = 32 . 5
olduğundan, (18, 45)OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur.
2. Yol:
(18, 45)OKEK = 2 . 32 . 5 = 90 dır.
Örnek 2:
a ve b doğal sayılarının OKEK' i 48 ve OBEB' i 8 ve
bu sayılardan biri 16 ise, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
a = 16 olsun. (16, b)OKEK = 48 ve (16, b)OBEB = 8
olduğuna göre,
a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB
16 . b = 48 . 8
b = 24
bulunur.
Örnek 3:
Herhangi iki doğal sayının OKEK' i 120 ve OBEB' i 8
olduğuna göre, bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB'
ile OKEK' inin toplamı kadar olabileceğinden,
120 + 8 = 128 dir.
Örnek 4:
Boyutları 2 cm, 4 cm, 6 cm olan dikdörtgenler
prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak
şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak
istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?
Çözüm:
Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak
istendiğinden, 2 cm, 4 cm, 6 cm sayılarının OKEK' i
bulunmalıdır. Bu nedenle,
(2, 4, 6)OKEK = 12 tür. Böylece, en küçük boyutlu küpün
bir kenarı = 12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde
yerleştirilebilecek küp sayısı,
Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi =
12.12.12/2.4.6 = 6.3.2 = 36
tane olur.
Örnek 5:
a, b, c asal sayılar olmak üzere,
x = a2 . b3 . c5 ve y = a5 . c2
ise, (x, y)OBEB = ? ve (x, y)OKEK = ? bulunuz.
Çözüm:
(x, y)OBEB = a2 . c2 = (a . c)2
(x, y)OKEK = a5 . b3 . c5 olur.
Örnek 6:
Ayşe toplarını 2' şer 2' şer, 4' er 4' er, 6' şar 6'
şar sayarsa, her defasında 1 top artıyor. Ayşe' nin en
az kaç topu vardır?
Çözüm:
Top sayısı = (2, 4, 6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür.
Örnek 7:
2, 3, 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en
büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır?
Çözüm:
[(2, 3, 4)OKEK] . k + 1 <= 99
24 . k + 1 <= 99
k = 4 olur. Buradan, sayı
24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97
bulunur.
Örnek 8:
İki yangın sireni 5/7, 7/8 saat aralıklarla alarm
vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son
Cuma günü sabah 04.00' de alarm verdiklerine göre, hangi
gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler?
Çözüm:
Yangın sirenleri 5/7, 7/8 sayılarının OKEK' lerinde
aynı anda alarm verirler. Dolayısıyla,
(5/7, 7/8)OKEK = (5, 7)OKEK / (7, 8)OBEB = 35 / 1 = 35
saat
sonra tekrar alarm verirler. O halde, Cumartesi günü
saat 15.00' de tekrar alarm vereceklerdir.
Örnek 9:
Bir a doğal sayısı 5/3, 6 sayılarına bölündüğünde
sonuç tamsayı olduğuna göre, bu koşula uyan en küçük a
sayısı kaçtır?
Çözüm:
5/3 ile 6' nın OKEK' ini bulmalıyız. Bu takdirde,
(5/3, 6)OKEK = (5, 6)OKEK / (3, 1)OBEB = 30 / 1 = 30
olur.
Örnek 10:
OKEK' i 7 olan a ve b doğal sayılarının
toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı
kaç olur?Çözüm:
(a, b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları
söylenmediğine göre,
a = 7 ve b = 7
alınabilir. Bu durumda, a ile b' nin toplamının en büyük
değeri
a + b = 7 + 7 = 14 ... (1)
olur. Diğer taraftan,
a = 1 ve b = 7 alınırsa, a ile b' nin toplamının en
küçük değeri
a + b = 1 +7 = 8 ... (2)
olur. Buradan, (1) ile (2) nin çarpımı
14 . 8 = 112
bulunur.
Örnek:40 ile m sayısının OBEB ve OKEK'leri
çarpımı 1400 olduğuna göre m sayısı kaçtır?
Çözüm: OBEB (40, m) . OKEK (40, m) = 1400
40 . m = 1400 m = 35 bulunur.
Örnek: Boyutları 3, 5 ve 8 cm olan karton kutular
yanyana ve üstüste konularak, en küçük hacimli bir küp
yapılmak isteniyor. Bu iş için kaç kutu gereklidir?
Çözüm:x-3 = 4a = 5b + 5 = 7c-14 (her birinin 3
eksiği alınır.)
x-3 = 4a = 5(b + 1) = 7.(c-2)
x - 3 = EKOK (4, 5, 7)
x - 3 = 4 . 5. 7 x = 143 bulunur. |
 |
