|
 DGS Matematik Konu Başlıkları
DGS Matematik
Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
Özdeşlikler
ve Çarpanlara Ayırma
|
Tanım : Sabit olmayan,
birden fazla polinom un çarpımı biçimin de yazılamayan
polinomlara indirgenemeyen
polinomlar denir.
Baş katsayısı bir olan
indirgenemeyen polinomlar Asal
polinomlar denir. |
* P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3x2 + 1,
R(x) = 2x – 3 , T(x) = - x + 7
Polinomları
indirgenemeyen polinomlar dır.
P(x) = x2
+ 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur.
|
Tanım : İçindeki
değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan
eşitliklere özdeşlik
denir. |
*
a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4
b) a2 (x + y)2
= a2 x2 + a2 y2
özdeşlik
c) a2 (x +y)2 = a2 x2
+ a2 y2 özdeşlik değildir.
|
I) Tam Kare
Özdeşliği:
a) İki Terim Toplamının Karesi
: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b)
İki Terim farkının
Karesi : (a – b)2 = a2
– 2ab + b2
İki terim
toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin
karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi
alınır.
c)
Üç Terim Toplamının
Karesi: (a +b +
c)2 = a2 + b2 + c2
+ 2 (ab + ac + bc) şeklindedir. |
|
II) İki Terim Toplamı veya
Farkının Küpü :
a)
İki Terim
Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3
+ 3a2b + 3ab2 + b3
b) İki Terim Farkının Küpü
: (a – b)3 = a3 – 3a2b
+ 3ab2 – b3
Birinci terimin
küpü;( )
birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+)
birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,()
ikincinin küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom
Açılımıda denir
Not:.
Paskal Üçgeni kullanılarak 4.,5.,6.,...Dereceden iki
terimli lerin özdeşliklerini de yazabiliriz. |
|
III)
İki Kare Farkı Özdeşliği: (a + b) (a – b) = a2
– b2
İki terim
toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi
ile ikincinin karesinin farkına eşittir |
|
IV) xn + yn
veya xn - yn biçimindeki
polinomların Özdeşliği :
i) İki küp Toplam
veya Farkı : a3 + b3 =
(a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2
+ ab + b2)
ii)
a4 + b4 = (a + b) (a3
– a2b + ab2 – b3)
a4
– b4 = (a2 + b2) (a + b)
(a – b)
iii)
a5 + b5 = (a + b) (a4 –
a3b + a2 b2 – ab3
+ b4)
a5 – b5
= (a – b) (a4 + a3b + a2
b2 + ab3 + b4)
iv) a6
+ b6 = (a + b) (a5 – a4b +
a3 b2 – a2b3 +
ab4 – b5)
a6 – b6 = (a –
b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2
+ ab + b2)
v) a7 + b7
= (a + b) (a6 – a5b + a4b2
– a3b3 + a2b4 –
ab5 + b6)
a7
– b7 = (a – b) (a6 + a5b
+ a4b2 + a3b3 +
a2b4 + ab5 + b6) |
Özdeşlikleri
aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz
1)
x2 + y2 = (x +
y)2 – 2xy
2)
x2 + y2 = (x –
y)2 + 2xy
3) (x – y)2
= (x + y)2 – 4xy
4) (x + y)2
= (x – y)2 + 4xy
5) x3
– y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)
6) x3
+ y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)
7) x2
+ y2 + z2 = (x + y + z)2 –
2 (xy + xz + yz) |
1) İki sayının toplamı 17, kareleri
toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı
kaçtır?
x2 + y2
= (x + y)2 – 2xy 2ab = 289 – 145
145 = (17)2 –
2ab 2ab = 144
 ab
= 72 C= 72
2) a – b = 6 (a
+ b)2 = (a – b)2 + 4ab (a + b)2
= 44
a . b =
2 = ( 6 )2 + 4.2 (a
+ b) = 
a + b = ?
= 36 + 8 =
3) a – 2b = 3 ise; a2
+ 4b2 = ? a2 + 4b2 = (a – 2b)2
+2. a2b
a . b = 2
= ( 3 )2 +
2. 2 .2 = 17
4) a + b = 12 ise; a . b =
? (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab 4 ab
= 108
a – b =
6 ( 12 )2 = ( 6 )2
+ 4ab ab = 27
5)  ise;
x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
    20
6)  ise;
   Ç
= {- 4 , 4}
7) m + n =8
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
m . n = 1
m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m +
n)
m3 + n3
= ? = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8
= 488 |
